Question

已知函数y=f（x）的定义域为（0，+∞）且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），且x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（4）；
（2）判断函数y=f（x）的单调性，并证明；
（3）求满足f（x）+f（x-3）≤2的x的范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由条件可令x=y=2，即可得到f（4）=2；
（2）令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，由于x＞1时，f（x）＞0，则f（

x2

x1

）＞0，则有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

），运用条件结合单调性定义，即可判断；
（3）不等式f（x）+f（x-3）≤2即为f[x（x-3）]≤f（4），由单调性得到不等式组，解出它们求交集即可．

解答： 解：（1）由于f（xy）=f（x）+f（y），且f（2）=1，
令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2；
（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数．
理由如下：令0＜x₁＜x₂，则

x2

x1

＞1，
由于x＞1时，f（x）＞0，
则f（

x2

x1

）＞0，
则有f（x₂）=f（x₁•

x2

x1

）=f（x₁）+f（

x2

x1

）＞f（x₁），
故有f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（3）不等式f（x）+f（x-3）≤2即为f[x（x-3）]≤f（4），
由于f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则

x＞0 x-3＞0 x(x-3)≤4

，即有

x＞0 x＞3 -1≤x≤4

，
即有3＜x≤4．
故满足f（x）+f（x-3）≤2的x的范围是（3，4]．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的单调性及判断，以及应用单调性解不等式，注意定义域，考查运算能力，属于中档题和易错题．