Question

已知函数，a，b为实数，x∈R，a∈R．
（1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x²+4ax+a+1）•e^x的极值点的个数．

Answer 1

解：（1）由已知得，f'（x）=3x²-3ax，…（1分）
由f'（x）=0，得x₁=0，x₂=a．…（2分）
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．…（4分）
又，，∴f（-1）＜f（1）．
由题意得f（-1）=-2，即，得．故，b=1为所求．…（6分）
（2）：由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f'（x）=3x²-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
①当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|_x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0． …（8分）
②当切点P不是P（2，1）时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），切线l的斜率，
∴l的方程为 ．…（10分）
又点P（2，1）在l上，∴，
∴，∴，
∴，即2x₀（x₀-2）=0，∴x₀=0．∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1…（12分）
（ 或者：由①知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）
（3）：由题意F（x）=（x²+ax+a+1）•e^x，
所以F′（x）=[x²+（2+a）x+2a+1]•e^x…（13分）
令x²+（2+a）x+2a+1=0．
当△=a（a-4）＞0，即a＜0或a＞4时，方程x²+（2+a）x+2a+1=0有两个不同的实根x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，于是F（x）=e^x（x-x₁）（x-x₂）从而有下表：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
F′（x）	+	0		0	+
F（x）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

即此时有两个极值点．…（16分）
②当△=a（a-4）=0，即a=0或a=4时，方程x²+（2+a）x+2a+1=0有两个相同的实根x₁=x₂，于是，此时无极值．…（16分）
③当△＜0，即0＜a＜4时，恒有F′（x）＞0，此时无极值．…（17分）
因此，当a＜0或a＞4时，F（x）有2个极值点，当0≤a≤4时，F（x）无极值．…（18分）
分析：（1）求出f（x）的导数，令f′（x）=0，解出极值点和单调区间，并把端点值-1，1代入进行比较，求出最值，从而求a、b的值；
（2）分两种情况：①当切点为P（2，1）时，②当切点P不是P（2，1）时，根据函数f（x）的解析式设出切点的坐标，根据设出的切点坐标，同时由f（x）求出其导函数，把切点的横坐标代入导函数中即可表示出切线的斜率，进而得到切点坐标，最后根据切点坐标和切线过原点写出切线方程即可．
（3）先求出f′（x）=0时得到方程讨论△的取值决定方程解得个数从而得到函数极值的个数．
点评：此题主要考查利用函数的导数求极值点和单调区间，从而求出最值，注意极大值点不一定是最值点，以及利用导数研究曲线上某点切线方程．