Question

设．
（1）设a_n=f（n）-g（n），求a₁，a₂，a₃，并证明{a_n}为递减数列；
（2）是否存在常数c，使f（n）-g（n）＞c对n∈N^*恒成立？若存在，试找出c的一个值，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由“”，可得到a₁，a₂，a₃，再由通项公式求得a_n+1-a_n，再判断它与0的大小，从而判断是否为递减的等差数列．
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在常数c，使f（n）-g（n）＞c对n∈N^*恒成立，再利用ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，通过取即可得到证明，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
解答：解：（1）．
由此a₁=1．  ，．
又．
构造函数h（x）=ln（1-x）+x．x∈（0，1）
由
知h（x）在[0，1）上为单减函数．
从而当x＞0时，h（x）＜h（0）=0
取．有
即a_n+1-a_n＜0
故{a_n}为递减数列．
（2）存在如C=0等，下证
注意到．
这只要证即可．
∵ln（1+x）＜x对x＞0恒成立，
∴取即可得上式成立．
从而
此时常数c=0．
点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了数列的定义，通项，不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．