Question

10．已知函数f（x）=ax²-2x+1，（a∈R），g（x）=ln（x+1）
（Ⅰ）y=g（x）-x在[0，1]上的最小值；
（Ⅱ）存在x∈（0，+∞）使不等式$\frac{{a（{x^2}-1）-f（x）}}{{2{e^x}}}＞\sqrt{x}$成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求出导函数，利用导数判断函数在[0，1]上的单调性，根据单调性求出最小值；
（II）分离参数得a＜-2e^x•$\sqrt{x}$+2x-1，求出右侧函数在（0，+∞）上的最大值即可．

解答 解：（I）y=ln（x+1）-x，∴y′=$\frac{1}{x+1}$-1，
∵0≤x≤1，$\frac{1}{x+1}$≤1，∴y′≤0，
∴y=ln（x+1）-x在[0，1]上是减函数．
∴y_min=ln2-1．
（II）∵$\frac{{a（{x^2}-1）-f（x）}}{{2{e^x}}}＞\sqrt{x}$，∴$\frac{-a+2x-1}{2{e}^{x}}＞\sqrt{x}$，∴a＜-2e^x•$\sqrt{x}$+2x-1．
令h（x）=-2e^x•$\sqrt{x}$+2x-1．则h′（x）=-e^x（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）+2，
∵x∈（0，+∞），∴e^x＞1，2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2$\sqrt{2}$，∴-e^x（2$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$）+2＜0，
∴h（x）在（0，+∞）上是减函数，∴h（x）＜h（0）=-1．
∵存在x∈（0，+∞）使不等式$\frac{{a（{x^2}-1）-f（x）}}{{2{e^x}}}＞\sqrt{x}$成立，∴a＜-1．

点评 本题考查了导数与函数的单调性的关系，函数单调性的判断与最值，属于中档题．