Question

12．已知数列{a_n}的前n项和${S_n}={n^2}+1$，则（　　）

• A． a_n=2n-1
• B． ${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 2n-1，n＞1\end{array}\right.$
• C． a_n=2n+1
• D． ${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 2n+1，n＞1\end{array}\right.$

Answer 1

分析 根据关系式：a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，进行求解，最后验证n=1时是否成立．

解答 解：由题意知，当n=1时，a₁=s₁=1+1=2，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²+1）-[（n-1）²+1）]=2n-1，
经验证当n=1时不符合上式，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}2，n=1\\ 2n-1，n＞1\end{array}\right.$．
故选：C．

点评 本题考查了数列通项公式和前n项和公式之间的关系式，即a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，注意验证n=1时是否成立，这是容易忽视的地方．