Question

11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0．
（1）求A；
（2）若AD为BC边上的中线，cosB=$\frac{1}{7}$，AD=$\frac{\sqrt{129}}{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A；
（2）由题意和平方关系求出sinB，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC，由正弦定理求出a和c关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a、c，由三角形的面积公式求出答案．

解答 解：（1）由题意知，acosC+$\sqrt{3}$asinC-b-c=0，
由正弦定理得：sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sinB-sinC=0，
由sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C）得，
sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC-sin（A+C）-sinC=0，
则$\sqrt{3}$sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，
又sinC≠0，则$\sqrt{3}$sinA-cosA=1，
化简得，$2sin（A-\frac{π}{6}）=1$，即$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$；
（2）在△ABC中，cosB=$\frac{1}{7}$得，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$…（7分）
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{7}+\frac{1}{2}×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$…（8分）
由正弦定理得，$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{5\sqrt{3}}{14}}$=$\frac{7}{5}$…（9分）
设a=7x、c=5x，
在△ABD中，由余弦定理得：
AD²=AB²+BD²-2•AB•BD•cosB，
$\frac{129}{4}=25{x}^{2}+\frac{1}{4}×49{x}^{2}-2×5x×\frac{1}{2}×7x×\frac{1}{7}$，
解得x=1，
则a=7，c=5…（11分）
所以△ABC的面积S=$\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}×7×5×\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$10\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．