Question

已知向量

OA

=(2， 0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)，动点M（x，y）到直线y=1的距离等于d，并且满足

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)（其中O是坐标原点，k∈R）．
（1）求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）当k=

1

2

时，求|

OM

+2

AM

|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设出M的坐标并求出A（2，0），B（2，1），C（0，1），把各点的坐标以及动点M到定直线y=1的距离等于d代入

OM

•

AM

=k(

CM

•

BM

-d2)，整理即可求出动点M的轨迹方程为（1-k）（x²-2x）+y²=0，再分情况得出曲线类型；
（2）先利用（1）的结论得出：0≤x≤2，y²=

1

2

-

1

2

(x-1)2，再把 |

OM

+2

AM

|整理为

9

2

(x-

5

3

)2+

7

2

，利用二次函数在闭区间上的最值求即可求出 |

OM

+2

AM

|的最大值和最小值，从而得到|

OM

+2

AM

|的取值范围．

解答：解：（1）∵O为原点，且

OA

=(2，  0)，  

OC

=

AB

=(0，  1)
∴A（2，0），B（2，1），C（0，1）（1分）
∴

OM

=(x，y)，  

AM

=(x-2，y)，  

BM

=(x-2，y-1)，

CM

=(x，y-1)，d= |y-1|（2分）
又

OM

 • 

AM

=k(

CM

 • 

BM

-d2)
∴x（x-2）+y²=k[x（x-2）+（y-1）²-（y-1）²]⇒x²-2x+y²=k（x²-2x）⇒（1-k）x²+2（k-1）x+y²=0（5分）
1）当k=1时，y=0，动点轨迹是一条直线；
2）当k≠1时，(x-1)2+

y2

1-k

=14）
①若1-k=1⇒k=0时，（x-1）²+y²=1动点轨迹是一个圆；
②若

1-k＞0 1-k≠0

⇒k＜1 且 k≠0时，动点轨迹是椭圆；
③若1-k＜0⇒k＞1时，动点轨迹是双曲线．（9分）
（2）当k=

1

2

时，M轨迹方程为（x-1）²+2y²=1
∴y2=

1

2

-

1

2

(x-1)2（10分）
∴t= |

OM

+2

AM

| = |(x，y)+2(x-2，y)| = |(3x-4，  3y)|=

(3x-4)2+9y2

=

(3x-4)2+9 [ 1 2 - 1 2 (x-1)2]

=

9 2 (x- 5 3 )2+ 7 2

（12分）
又（x-1）²+2y²=1⇒（x-1）²≤1⇒0≤x≤2
∴当 x=

5

3

时，tmin=

7 2

=

14

2

当 x=0时，t_max=4
∴|

OM

+2

AM

|的取值范围是[

14

2

，4]．（14分）

点评：本题以向量为载体，综合考查了轨迹方程的求法以及向量与圆锥曲线的综合问题和分类讨论思想的应用，是对知识的综合考查，属于难题．