Question

已知数列,,,…,,…,计算S₁,S₂,S₃,S₄,根据计算结果,猜想S_n的表达式,并用数学归纳法进行证明.

Answer 1

分析：本题考查观察、分析、归纳、发现规律的能力,考查数学归纳法在等式证明中的应用.在用观察法求数列的通项公式时,要注意观察项与项数的关系.

解：S₁==;

S₂=+=;

S₃=+=;

S₄=+=.

可以看到,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想.                   

下面我们用数学归纳法证明这个猜想.

(1)当n=1时,左边=S₁=,

右边===,

猜想成立.

(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即

+++…+=,   

那么, +++…++

所以,当n=k+1时猜想也成立.

根据(1)、(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.