Question

椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点．已知的最大值为3，最小值为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点（M、N不是左右顶点），且以MN为直径的圆过点A．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，再计算，利用的最大值为3，最小值为2，建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）将y=kx+m代入椭圆方程得一元二次方程，利用韦达定理，及MN为直径的圆过点A，即可证得结论．
解答：（1）解：∵P是椭圆上任一点，∴|PF₁|+|PF₂|=2a且a-c≤|PF₁|≤a+c，
∴=
==…（2分）
当|PF₁|=a时，y有最小值a²-2c²；当|PF₂|=a-c或a+c时，y有最大值a²-c²．
∴，，b²=a²-c²=3．
∴椭圆方程为．…（4分）
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将y=kx+m代入椭圆方程得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴…（6分）
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，，
∵MN为直径的圆过点A，∴，
∵右顶点为A，∴A（2，0）
∴=（x₁-2，y₁），=（x₂-2，y₂），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
∴7m²+16km+4k²=0，
∴或m=-2k都满足△＞0，…（9分）
若m=-2k直线l恒过定点（2，0）不合题意舍去，
若直线l：恒过定点．…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，联立方程，正确运用韦达定理是关键．