Question

定义在R上的函数f（x）为奇函数，且f（x-3）为偶函数，记f（2009）=a，若f（7）＞1，则a的取值范围为

（-∞，-1）

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）为奇函数且f（x-3）为偶函数，利用奇偶性定义证出f（x+12）=f（x），得到函数的周期为12，从而算出a=f（2009）=f（-7）=-f（7），再根据（7）＞1即可得到实数a的取值范围．

解答：解：由题意，可得f（-x）=-f（x）且f（-x-3）=f（x-3）
∴两式加以对照，可得f（x-3）=f（-x-3）=-f（x+3）
以x+3代替x，可得f（x）=-f（x+6），…①
再以x+6代替x，f（x+6）=-f（x+12），…②
∴对照①②两式，可得f（x+12）=f（x），
因此，函数的最小正周期为T=12
故a=f（2009）=f（12×168-7）=f（-7）=-f（7），
∵f（7）＞1，
∴a=-f（7）＜-1，即实数a的取值范围为（-∞，-1）
故答案为：（-∞，-1）

点评：本题给出函数的奇偶性，求函数的最小正周期并解决实数a的取值范围问题，着重考查函数奇偶性、周期性和不等式的等价变形等知识，属于中档题．