Question

7．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f′（x）＜1，则不等式f（1g²x）＜1g²x的解集为（　　）

• A． $（{0，\frac{1}{10}}）$
• B． （10，+∞）
• C． $（{\frac{1}{10}，10}）$
• D． $（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$

Answer 1

分析 构造函数g（x）=f（x）-x，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出不等式f（x）＜x的解为x＞1，即可得到结论．

解答 解：设g（x）=f（x）-x，
则函数的导数g′（x）=f′（x）-1，
∵f′（x）＜1，
∴g′（x）＜0，
即函数g（x）为减函数，
∵f（1）=1，
∴g（1）=f（1）-1=1-1=0，
则不等式g（x）＜0等价为g（x）＜g（1），
则不等式的解为x＞1，
即f（x）＜x的解为x＞1，
∵f（1g²x）＜1g²x，
∴由1g²x＞1得1gx＞1或lgx＜-1，
解得x＞10或0＜x＜$\frac{1}{10}$，
故不等式的解集为$（{0，\frac{1}{10}}）∪（{10，+∞}）$，
故选：D

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．