Question

证明：内切圆半径为定值r的直角三角形中，以等腰直角三角形的周长最小．

Answer 1

分析：如图，设βOAB=a，βOBA=β，AF=AD=x，BE=BD=y，利用∠C=90°，推出a-β=2a-45°．设△ABC周长为l，
可得l=2（x+y+z）=2r（cotα+cotβ+1）=2r[

2

cos(2a-45°)- 2 2

+1]，利用l最小求出，推出，△ABC为等腰直角三角形．

解答：解：如图，设βOAB=a，βOBA=β，AF=AD=x，BE=BD=y，
∵∠C=90°，圆O为△ABC内切圆圆心，∴2β=90°-2a，即
a+β=45°，a-β=2a-45°．
∵x=rcota，y=rcotβ，设△ABC周长为l，
则l=2（x+y+z）=2r（cotα+cotβ+1）
=2r（

cosa

sina

+

cosβ

sina

+1）=2r[

sin(a+β)

sinasinβ

+1]
=2r{

sin45°

- 1 2 [cos(a+β)-cos(a-β)]

+1}
=2r[

2

cos(2a-45°)- 2 2

+1]
若l取最小值，则cos（2a-45°）-

2

2

最大，
即2a=45°，△ABC为等腰直角三角形．

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，数形结合的思想的应用，转化思想的体现，三角函数的最值的求法，使问题得到化简，考查计算能力．