Question

某城市的车牌号是由0，1，2，…9的10个数字组成的六位数码（数字可重复使用，且0可作首位），则满足各位数字之和为9的倍数，且至少含有三个9的车牌号共有（　　）

A．1762个

B．278个

C．5560个

D．1620个

Answer 1

分析：各位数字之和为9的且至少含有三个9的车牌号有三大类：6个9；5个9；4个9；3个9，根据分类计数原理得到结果．

解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，
各位数字之和为9的，且至少含有三个9的车牌号有两类：
①6个9：有C₆⁶=1个；
②5个9，一个0：有C₆⁵=6个；
③4个9，二个0：有C₆⁴=15个；
④4个9，二个是1，8；2，7；3，6；4，5：有4C₆⁴A₂²=120个；
⑤3个9，三个是1，1，7；1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，3，4；2，5，2；3，3，3；5，6，7；5，5，8；3，7，8；6，6，6；4，6，8；4，7，7；2，8，8：
有C₆³（6A₃¹+6A₃³+2）=1120个；
⑥3个9，一个0二个是1，8；2，7；3，6；4，5：有4C₆³A₃³=480个；
⑦3个9，三个0：有C₆³=20个；
∴根据分类计数原理知共有1+6+15+120+1120+480+20=1762个．
故选A．

点评：本题考查分类计数问题，是一个数字之和是定值的问题，数字问题是排列组合与计数原理的主角，经常出现，并且常出常新．