Question

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，定点A（2，π），动点B在直线ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

上运动，则线段AB的最短长度为

 

（不等式选讲选做题）设函数f（x）=|x-1|+|x-2|，则f（x）的最小值为

 

（几何证明选讲选做题） 如图所示，等腰三角形ABC的底边AC长为6，其外接圆的半径长为5，则三角形ABC的面积是

 

．

Answer 1

分析：（1）先利用三角函数的和角公式展开曲线C的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得．将直线的极坐标方程化成直角坐标方程，再在直角坐标系中算出点到直线的距离，即线段AB的最短长度．
（2）先看1≤x≤2求得f（x）的值，再看x＜1时，f（x）的解析式为直线方程，单调减，进而求得函数的值域；最后看x＞2时，函数的解析式为直线方程，单调增，利用x的范围判断出函数的值域；最后综合求得答案．
（3）如图由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上，根据勾股定理求出OD的长，进一步求出BD的长，根据三角形的面积公式即可求出答案．

解答：解：（1）直线 ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

的直角坐标方程为：
x+y-1=0，
定点A（2，π）的直角坐标（-2，0），
它到直线的距离：
d=

|-2-1|

2

=

3 2

2

．
则线段AB的最短长度为

3 2

2

．
故答案为：

3 2

2

．
解：（2）当1≤x≤2时，f（x）=2-x+x-1=1
当x＜1时，f（x）=1-x-x+2=-2x+1＞1
当x＞2时，f（x）=x-1+x-2=2x-3＞1
∴函数f（x）的最小值为1
故答案为：1
解：（3）连接OB交AC于D，连接OC，
∵圆O是等腰三角形的外接圆，O是外心，
∴BD⊥AC，AD=DC=3，
如图，可求OD=4，
BD=5-4=1，
∴S_△ABC=

1

2

AC•BD=

1

2

×6×1=3；
故答案为：3．

点评：（1）本小题主要考查简单曲线的极坐标方程，属于基础题．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
（2）本题主要考查了函数的值域问题．解题过程采用了分类讨论的思想，也可采用数形结合的方法，画出函数的图象，观察出函数的最小值．
（3）本题主要考查了三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点，解此题的关键是求出高BD的长度．此题用的数学思想是分类讨论思想．题目较好．