Question

（19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2.求m的取值范围.

Answer 1

（19）本小题主要考查直线、双曲线等基础知识，考查基本运算、逻辑推理能力.

解法一：设点P的坐标为（x,y），依题设得＝2, 即y＝±2x，x≠0.　　　                ①　

因此，点P（x,y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||＜|MN|＝2，

∵||PM|－|PN||＝2|m|＞0，

∴0＜|m|＜1，

因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故

＝1.　　                                                           ②　

 

将①式代入②，并解得x²＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵1－m²＞0，

∴1－5m²＞0，

解得0＜|m|＜.

即m的取值范围为（－,0）∪（0, ）.　　　　　　　

解法二：设点P的坐标为（x,y）,依题设得＝2，即

y＝±2x,x≠0.　　                                              　　　    ①　

由|PM|－|PN|＝2m，得                          ②　

由②式可得

 

所以，|m|＜＝,且|m|≠0.　

 

由②式移项，两边平方整理得m＝x－m².

 

将①式代入，整理得（1－5m²）x²＝m²（1－m²）.　　　　　　　 ③　

∵x²＞0，且③式右端大于0，

∴1－5m²＞0.

综上，得m满足0＜|m|＜.

即m的取值范围为（－，0）∪（0，）.