Question

20．设{a_n}为公比不为1的等比数列，a₄=16，其前n项和为S_n，且5S₁、2S₂、S₃成等差数列．
（l）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，T_n为数列{b_n}的前n项和．求出T_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质、“裂项求和”、数列的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵5S₁、2S₂、S₃成等差数列，
∴4S₂=5S₁+S₃，即4（a₁+a₁q）=5a₁+${a}_{1}+{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}$，
∴q²-3q+2=0，
∵q≠1，∴q=2．
又∵a₄=16，即${a}_{1}{q}^{3}$=8a₁=16，a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
（2）解：b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
数列{b_n}的前n项和T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$，
显然T_n关于正整数n是单调递增的，
∴T_min=T₁=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．