Question

已知m∈R，函数f(x)＝mx－lnx，g(x)＝＋lnx．

(1)求g(x)的极小值；

(2)若y＝f(x)－g(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，求m的取值范围；

(3)设h(x)＝，若在[1，e)(e是自然对数的底数)上至少存在一个x₀，使得f(x₀)－g(x₀)＞h(x₀)成立，求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)由题意，，，∴当时，；当时，，所以，在上是减函数，在上是增函数，故；4分

　　(2)，，由于在内为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，故，所以的取值范围是．9分

　　(3)构造函数，

　　当时，由得，，，所以在上不存在一个，使得．

　　当时，，因为，所以，，所以在上恒成立，故在上单调递增，，所以要在上存在一个，使得，必须且只需，解得，故的取值范围是．14分

　　另法：(Ⅲ)当时，．

　　当时，由，得，令，则，所以在上递减，．

　　综上，要在上存在一个，使得，必须且只需．14分