Question

某机床厂每月生产某种精密数控机床10件，已知生产一件合格品能盈利8万元，生产一件次品将会亏损2万元．假设该精密数控机床任何两件之间合格与否相互没有影响．相关部门统计了近二年每个月生产的合格品，以生产最稳定的年份估算2010工厂生产该精密数控机床的合格率．

合格品	1月	2月	3月	4月	5月	6月	7月	8月	9月	10月	11月	12月
2008	7	8	7	6	10	8	5	6	7	8	6	6
2009	9	8	7	8	8	8	9	7	8	10	7	7

参考数据：0.8⁴=0.410，0.8⁵=0.328，0.8⁶=0.262，0.8⁷=0.210，0.8⁸=0.168，0.8⁹=0.134，0.8¹⁰=0.107
（1）试确定2010年生产精密数控机床的合格率；
（2）若该工厂希望每月盈利额X不低于70万元，求该工厂达到盈利目标的概率（将结果精确到0.01）．
（3）求该工厂每月盈利额X的数学期望．

Answer 1

分析：（1）分别求出2008年和2009年生产精密数控机床的合格率、方差，由以生产最稳定的年份估算2010工厂生产该精密数控机床的合格率，能得到2010年生产精密数控机床的合格率．
（2）设X表示合格品的个数，则X～B（10，0.8），X表示每月盈利额，则P（η≥70）=P（ξ≥9）=P（ξ=9）+P（ξ=10），由此能求出该工厂达到盈利目标的概率．
（3）由X～B（10，0.8），能求出该工厂每月盈利额X的数学期望．

解答：解：（1）2008年生产精密数控机床的合格率为[

1

12

（7+8+7+6+10+8+5+6+7+8+6+6）÷12]×100%=70%，
方差S12=

1

12

[（7-7）²+（8-7）²+（7-7）²+（6-7）²+（10-7）²+（8-7）²
+（5-7）²+（6-7）²+（7-7）²+（8-7）²+（6-7）²+（6-7）²]=

20

12

=

5

3

，
2009年生产精密数控机床的合格率为[

1

12

（9+8+7+8+8+8+9+7+8+10+7+7）÷12]×100%=80%，
方差S22=

1

12

[（9-8）²+（8-8）²+（7-8）²+（8-8）²+（8-8）²+（8-8）²
+（9-8）²+（7-8）²+（8-8）²+（10-8）²+（7-8）²+（7-8）²]=

10

12

=

5

6

．
∵以生产最稳定的年份估算2010工厂生产该精密数控机床的合格率，
∴2010年生产精密数控机床的合格率为0.8．
（2）设X表示合格品的个数，
则X～B（10，0.8），
X表示每月盈利额，
则P（η≥70）=P（ξ≥9）
=P（ξ=9）+P（ξ=10）
=

C

9 10

(

4

5

)9(

1

5

)+

C

10 10

(

4

5

)10
≈0.38．
（3）由X～B（10，0.8），知EX=10×0.8=8，
∵η=8ξ-2（10-ξ）=10ξ-20，
∴Eη=10Eξ-20=60（万元）．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．