Question

已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C相交于点D，E，求

AD

•

EB

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线l₁的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l₂的方程与抛物线的交点坐标，代入

AD

•

EB

利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．

解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意得

(x-1)2+y2

- |x|=1，
化简得y²=2x+2|x|．
当x≥0时，y²=4x；当x＜0时，y=0，
所以动点P的轨迹C的方程为y²=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．
（Ⅱ）由题意知，直线l₁的斜率存在且不为零，设为k，则l₁的方程为y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) y2=4x

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A，B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1．
∵l₁⊥l₂，∴直线l₂的斜率为-

1

k

．
设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），则同理可得x₃+x₄=2+4k²，x₃x₄=1．
故

AD

•

EB

=(

AF

+

FD

)•(

EF

+

FB

)=

AF

•

EF

+

AF

•

FB

+

FD

•

EF

+

FD

•

FB

=|

AF|

•|

FB

|+|

FD|

•|

EF|

=（x₁+1）（x₂+1）+（x₃+1）（x₄+1）
=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+x₃x₄+x₃+x₄+1
1+2+

4

k2

+1+1+2+4k²+1=8+4（k²+

1

k2

）≥8+4×2=16，
当且仅当k²=

1

k2

，即k=±1时，

AD

•

EB

的最小值为16．

点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．