Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos²A+cos²C-$\sqrt{3}$sinAsinC=1+cos²B．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x（x∈R），求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由同角三角函数关系式结合正弦定理，得a²+c²-b²=-$\sqrt{3}ac$，由此能求出B．
（Ⅱ）由三角函数降阶公式和三角函数恒等式得到f（x）=sin（2x-30°）-$\frac{1}{2}$，由B=150°，得0°＜A＜30°，由此能求出f（A）的取值范围是（-1，0）．

解答 解：（Ⅰ）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
且cos²A+cos²C-$\sqrt{3}$sinAsinC=1+cos²B，
∴1-sin²A+1-sin²C-$\sqrt{3}sinAsinB$=1+1-sin²B，
∴由正弦定理，得a²+c²-b²=-$\sqrt{3}ac$，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{-\sqrt{3}ac}{2ac}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴B=150°．
（Ⅱ）f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x（x∈R）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-$$\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{1}{2}$
=sin（2x-30°）-$\frac{1}{2}$，
∵B=150°，∴0°＜A＜30°，∴-30°＜2A-30°＜30°，
∵f（A）=sin（2A-30°）-$\frac{1}{2}$，
∴sin（-30°）-$\frac{1}{2}$＜f（A）＜sin（30°）-$\frac{1}{2}$，
∴-1＜f（A）＜0，
∴f（A）的取值范围是（-1，0）．

点评 本题考查三角形内角大小的求法，考查函数值取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用．