Question

椭圆

x2

9

+

y2

5

=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，弦AB过F₁，若△ABF₂的内切圆周长为2π，A，B两点的坐标分别为（x₁，y₁）和（x₂，y₂），则|y₂-y₁|的值为

3

．

Answer 1

分析：先根据椭圆方程求得a和c，及左右焦点的坐标，进而根据三角形内切圆面积求得内切圆半径，进而根据△ABF2的面积=△AF1F2的面积+△BF1F2的面积求得△ABF2的面积=3|y2-y1|进而根据内切圆半径和三角形周长求得其面积，建立等式求得|y2-y1|的值．

解答：解：椭圆：

x2

9

+

y2

5

=1，a=3，b=

5

，∴c=2，左、右焦点F₁（-2，0）、F2（2，0），△ABF2的内切圆周长为2π，则内切圆的半径为r=1，
而△ABF₂的面积=△AF₁F₂的面积+△BF₁F₂的面积=

1

2

×|y₁|×|F₁F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=2|y₂-y₁|（A、B在x轴的上下两侧）
又△ABF₂的面积═

1

2

×|r（|AB|+|BF₂|+|F₂A|=

1

2

×1×（2a+2a）=2a=6．
所以 2|y₂-y₁|=6，|y₂-y₁|=3．
故答案为3．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出△ABF₂的面积，属于中档题．