Question

某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查发现投入广告费t（百万元），可增加销售额约为-t²+5t（百万元）（0≤t≤5）．
（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额约为x³+x²+3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益=销售额-投放）．

Answer 1

解：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），
则有f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t=-（t-2）²+4（0＜t≤3），
所以当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元．
即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大．（6分）
（2）设用技术改造的资金为x（百万元），
则用于广告促销的资金为（3-x）（百万元），
则增加的收益为g（x）=（-x³+x²+3x）+[-（3-x）²+5（3-x）]-3=x³+4x+3（0≤x≤3），
所以g′（x）=-x²+4．令g′（x）=0，
解得x=2，或x=-2（舍去）．
又当0≤x＜2时，g′（x）＞0，
当2＜x≤3时，g′（x）＜0．
故g（x）在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．
所以当x=2时，g（x）取最大值，
即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．（16分）
分析：（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）根据收益为销售额与投放的差可建立收益模型为：f（t）=（-t²+5t）-t=-t²+4t，再由二次函数法求得最大值．
（2）根据题意，若用技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促销的资金为（3-x）（百万元），则收益模型为：g（x）=x³+x²+3x）+[-（3-x）²+5（3-x）]-3=x³+4x+3（0≤x≤3），因为是高次函数，所以用导数法研究其最大值．
点评：本题主要考查函数模型的建立和应用，还考查了二次函数法和导数法研究函数的最值的基本方法．