Question

直线l₁过（1，0）点，且l₁关于直线y=x对称直线为l₂，已知点A(n，

an+1

an

)（n∈N⁺）在l₂上，a₁=1，当n≥2时，a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²．
（Ⅰ）求l₂的方程；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设l₂的方程为：y=kx+b，，由l₁，l₂关于直线y=x对称，及l₁过点（1，0）可得l₂过点（0，1），可求b
再由An (n，

an+1

an

)在直线l₂上，可得

a2

a1

=k+1，

a3

a2

=2k+1，k=

a3

a2

-

a2

a1

．及

an+1

an

-

an

an-1

=1可求k
（Ⅱ）由

an+1

an

-

an

an-1

=1，可知{

an+1

an

}是首项为

a2

a1

，公差为1的等差数列．从而可得

an+1

an

=2+(n-1)×1=n+1，利用叠乘法可求

解答：解：（Ⅰ）设l₂的方程为：y=kx+b，
又l₁，l₂关于直线y=x对称，l₁过点（1，0），∴l₂过点（0，1），∴b=1．
又∵An (n，

an+1

an

)在直线l₂上，取n=1，2得：

a2

a1

=k+1，

a3

a2

=2k+1，∴k=

a3

a2

-

a2

a1

．
∵a_n+1a_n-1=a_na_n-1+a_n²，∴

an+1

an

-

an

an-1

=1（n∈N，n≥2），
∴k=

a3

a2

-

a2

a1

=1，∴l₂的方程为y=x+1．
（Ⅱ）由

an+1

an

-

an

an-1

=1，可知{

an+1

an

}是首项为

a2

a1

，公差为1的等差数列．
∵A1(1，

a2

a1

)在直线l₂上，∴

a2

a1

=2．∴

an+1

an

=2+(n-1)×1=n+1，
∴an=

an

an-1

×

an-1

an-2

×…×

a2

a1

×a1=n×(n-1)×…×2×1=n!

点评：本题主要考查了利用构造法求解数列的通项公式，数列的叠乘求解数列的通项公式，叠加与叠乘法的求解中要注意所写的式子的个数的判断是解题中的易错点