Question

【题目】如图，在三棱锥A﹣BCD中，已知△ABD，△BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD中点，且AE⊥平面BCD，F为线段AB上一动点，记 ．

（1）当 时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；
（2）当CF与平面ACD所成角的正弦值为 时，求λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：连结CE，以EB、EC、EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0， ），B（1，0，0），C（0， ，0），D（﹣1，0，0），

∵F是线段AB上一动点，且 =λ，

则 = =（﹣ ），∴F（1﹣λ，0， ），

当 时，F（ ）， =（ ）， =（1，﹣ ，0），

∴cos＜ ， ＞= = ，

∴异面直线DF与BC所成角的余弦值为 ．

（2） =（1﹣ ）， =（1，0， ）， =（1， ，0），

设平面ACD的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x= ，得 =（ ），

∵CF与平面ACD所成角的正弦值为 ，

∴|cos＜ ＞|= = ，

解得 或λ=2（舍），

∴λ=2．

【解析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，用坐标表示直线DF与BC的方向向量，再求得两异面直线的夹角；（2）CF与平面ACD所成角的正弦值等于CF与平面ACD法向量所成角的余弦值.
【考点精析】利用异面直线及其所成的角和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．