Question

如图，已知为平行四边形，，，，点在上，，，交于点，现将四边形沿折起，使点在平面上的射影恰在直线上．

(Ⅰ) 求证：平面；

(Ⅱ) 求折后直线与直线所成角的余弦值;

(Ⅲ) 求三棱锥的体积．

Answer 1

证明：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，

∴EF⊥平面BDN，

∴BC⊥平面BDN，∴BC⊥BD

设D在平面BCEF上的射影O在直线BC上

则BC⊥BO

∴D在平面BCEF上的射影O即为点B，即BD⊥平面BCEF. 　　--------4分

（Ⅱ）在线段BC上取点M，使BM=FN，则MN//BF

∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角。

又MN=BF=2，     DM=，。

∴

∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为。

（Ⅲ）∵AD//EF，

∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，

∴

即所求三棱锥的体积为.　　　　　　　　　　　　　　　--------12分