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    【题目】求矩阵M＝的特征值和特征向量．

    【答案】矩阵M＝有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为，属于λ2＝－2的一个特征向量为.

    【解析】

    令特征多项式等于0可得特征值，根据特征方程组可解得特征向量.

    特征多项式f(λ)＝＝(λ＋1)(λ－6)－8＝λ2－5λ－14＝(λ－7)(λ＋2)，

    由f(λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.

    将λ1＝7代入特征方程组，得即y＝2x，可取为属于特征值λ1＝7的一个特征向量．

    同理，λ2＝－2时，特征方程组是即x＝－4y，所以可取为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．

    综上所述，矩阵M＝有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为，属于λ2＝－2的一个特征向量为.

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    分数区间

    人数

    2

    8

    32

    38

    20

    （1）根据上述表格，试估计唐老师所任教班级的学生在本次期末数学测试的平均成绩；

    （2）现从成绩在中按照分数段，采取分层抽样的方法随机抽取5人，再在这5人中随机抽取2人作小题得分分析，求恰有1人的成绩在上的概率.

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    已知、，，求的最小值.

    解法如下：，

    当且仅当，即时取到等号，

    则的最小值为.

    应用上述解法，求解下列问题：

    （1）已知，，求的最小值；

    （2）已知，求函数的最小值；

    （3）已知正数、、，，

    求证：.

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    （1）求椭圆的方程；

    （2）设是分别关于两坐标轴及坐标原点的对称点，平行于的直线交于异于的两点．点关于原点的对称点为．证明：直线与轴围成的三角形是等腰三角形．

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    （1）试确定点E的位置，使得平面，并证明；

    （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值的大小.

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    A.①为真命题，②为真命题B.①为真命题，②为假命题

    C.①为假命题，②为真命题D.①为假命题，②为假命题

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    【题目】在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（t为参数），直线过点且倾斜角为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系.

    （1）写出曲线C的极坐标方程和直线的参数方程；

    （2）若直线l与曲线C交于两点，求的值.

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    （1）讨论的单调性；

    （2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.

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