Question

已知函数（且）.

（1）求函数的单调区间；

（2）记函数的图象为曲线.设点,是曲线上的不同两点.如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”. 试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）函数在上单调递增,在上单调递减

（2）函数不存在“中值相依切线”

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数的正负来求解增减区间，并能结合导数的几何意义能解决切线的相关问题。

解：(Ⅰ)显然函数的定义域是.                         …………1分

由已知得，.          …………2分

⑴   a>0时, 令,解得; 令,解得.

所以函数在上单调递增,在上单调递减.   ……3分

⑵   a<0时，  ①当时，即时, 令,解得或;

令,解得.

所以，函数在和上单调递增,在上单调递减; ……4分

②当时，即时, 显然，函数在上单调递增； ………5分

③当时，即时, 令,解得或; 令,解得.所以，函数在和上单调递增,在上单调递减.

综上所述，⑴当a>0时,函数在上单调递增,在上单调递减；

⑶   a<-1时,函数在和上单调递增,在上单调递减；

⑷   a=-1时,函数在上单调递增；

⑸   -1<a<0时,函数在和上单调递增,在上单调递减. …7分

 (Ⅱ)假设函数存在“中值相依切线”.

设,是曲线上的不同两点，且，

则,=…8分

曲线在点处的切线斜率k=f’(x₀)= -a+a-1……9分

                                                      

 依题意得：

化简可得： ，    

即.      …………11分

设 (t>1)，上式化为,即.    …12分

令,

因为t>1,显然，所以在上递增,显然有恒成立.

所以在内不存在,使得成立.

 综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.