Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ ， ）．且离心率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD，记由A，B，C，D四点构成的四边形的面积为S，求S的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当a＞b时，∵椭圆C： =1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ ， ）．且离心率为 ．

∴由题意 + =1，且e= = ，

解得a2=2，b2=1，

∴椭圆方程为 =1；

②当a＜b时，∵椭圆C： =1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ ， ）．且离心率为 ．

∴由题意 + =1，且e= = ，

解得 ，b2= ，

∴椭圆方程为 =1．

∴椭圆C的方程为 =1或 =1．

（2）解：∵过椭圆C的左焦点F作两条互相垂直的动弦AB与CD，∴取椭圆C的方程为 =1，

①当两条弦中有一条的斜率不存在时，则另一条的斜率为0，

∴由A，B，C，D四点构成的四边形的面积：

S= |AB||AC|= =2．

②当两弦的斜率均存在时，可知均不为0，设A（x1，y），B（x2，y2），

令直线AB的方程为：y=k（x+1），则直线CD的方程为：y=﹣ （x+1），

由 ，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，

∴|AB|= = ，

同理，|CD|= = =

= =2﹣ ，

∵2（k+ ）2+1≥2（2 ）2+1≥2（2 ）2+1=9，

当且仅当k=±1时取等号，

∴ ．

综上， ．

∴S的最大值为2，最小值为

【解析】（1）根据a＞b和a＜b两种情况，由椭圆C： =1（a＞0，b＞0）经过点（﹣ ， ）．且离心率为 ，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）取椭圆C的方程为 =1，当两条弦中有一条的斜率不存在时，则另一条的斜率为0，此时由A，B，C，D四点构成的四边形的面积S= |AB||AC|=2；当两弦的斜率均存在时，令直线AB的方程为：y=k（x+1），则直线CD的方程为：y=﹣ （x+1），利用韦达定理、弦长公式，能求出S的最大值和最小值．