Question

若向量

α

，

β

满足|

β

|=3，|

α

|=2|

β

-

α

|，则|

α

|的取值范围为（　　）

A．[2，6]

B．[1，5]

C．[2，7]

D．[1，7]

Answer 1

分析：在△ABC中，设

CA

=

β

，

CB

=

α

，则

β

-

α

=

BA

，由向量

α

，

β

满足|

β

|=3，|

α

|=2|

β

-

α

|，知|

CA

| =3，|

CB

|=2|

BA

|，由余弦定理知|

CA

|²=|

CB

|²+|

BA

|²-2|

CB

|•|

BA

|cosB，故|

BA

|  2=

9

5-4cosB

∈[1，9]，由此能求出|

α

|=2|

BA

|的取值范围．

解答：解：在△ABC中，设

CA

=

β

，

CB

=

α

，则

β

-

α

=

BA

，
∵向量

α

，

β

满足|

β

|=3，|

α

|=2|

β

-

α

|，
∴|

CA

| =3，|

CB

|=2|

BA

|
∴由余弦定理，得|

CA

|²=|

CB

|²+|

BA

|²-2|

CB

|•|

BA

|cosB，
∴9=5|

BA

|²-4|

BA

|²cosB，
∴|

BA

|  2=

9

5-4cosB

∈[1，9]，
∴|

BA

|=[1，3]，
∴|

α

|=2|

BA

|的取值范围是[2，6]．
故选A．

点评：本题考查平面的数量积的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，巧妙地把向量问题转化为三角问题是正确解题的关键步骤．