Question

已知数列{b_n}是等差数列b₁＝1，b₁＋b₂＋…＋b₁₀＝145．

(1)求数列{b_n}的通项公式b_n；

(2)设数列{a_n}的通项a_n＝log_a(1＋)(a>0且a≠1)，S_n是数列{a_n}的前n项和，试比较S_n与log_ab_n＋1大小，并证明你的结论．

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设数列{bn}的公差为d，由题意得 ，bn＝3n－2 (2)Sn＝loga(1＋1)＋loga(1＋)＋…＋loga(1＋) ＝loga［(1＋1)(1＋)…(1＋)］ logabn＋1＝loga(3n＋1)＝loga 因此要比较Sn与logabn＋1的大小，只需比较(1＋1)(1＋)…(1＋)与的大小即可． 当n＝1时，1＋1＝2>＝． n＝2时(1＋1)(1＋)＝> n＝3时(1＋1)(1＋)(1＋)＝>． 由此推测(1＋1)(1＋)…(1＋)>，(1) 证明：(1)当n＝1时已验证． (2)假设当n＝k时(1)式成立 即(1＋1)(1＋)…(1＋)> 则当n＝k＋1时(1＋1)(1＋)…(1＋)［1＋］>(1＋)＝(3k＋2) ∵［(3k＋2)］3－()3＝>0 ∴(3k＋2)> ＝ (1＋1)(1＋)…(1＋)(1＋)> 即当n＝k＋1时，(1)式成立． 由(1)、(2)知对于任意正整数都成立． 当a>1时，Sn>logabn＋1，当0<a<1时，Sn<logabn＋1．

提示：

通过令n＝1，2，3求出a2，a3，a4由此归纳出an再用数学归纳法证明．