Question

已知α，β，γ∈R，则的最大值为________．

Answer 1

2+
分析：设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[-1，1]，不妨设 a≥b≥c，则原式=++．分析可得要使原式取得最大值，必须有a=1，c=-1，b=0，由此原式的最大值．
解答：由于sinα、sinβ、sinγ∈[-1，1]，设a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，则a，b，c∈[-1，1]．
不妨设 a≥b≥c，令f=++．
再采用固定变量法：
对于固定的b，c，f随a的增大而增大，所以当原式取最大值时，a一定取1，
对于固定的a，b，f随c的减小而增大，所以当原式取最大值时，c一定取-1．
此时，原式=++．
令g（b）=+ （-1≤b≤1），∵g²（b）=2+2，
∴当b=0时，g²（b）最大，故g（b）的最大值为．
综上可得，要使原式取得最大值，必须有a=1，c=-1，b=0，
故原式的最大值为 2+，
故答案为 2+．
点评：本题主要考查正弦函数的值域，求函数的最大值，体现了转化的数学思想，属于中档题．