Question

对于定义在D上的函数y=f（x），若同时满足：①f（x）在D内单调；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在区间[a，b]上值域为[a，b]，则函数y=f（x）（x∈D）称为闭函数．按照上述定义，若函数y=

2

x

为闭函数，则符合条件②的区间[a，b]可以是

[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）

．

Answer 1

分析：由已知条件中“闭函数”的定义，说明函数y=

2

x

在区间[a，b]的值域是[a，b]，因为函数在（-∞，0）和（0，∞+）均为减函数所以分a、b都小于0和a、b都大于0两种情况讨论，通过解方程组，即可得到符合条件②的区间[a，b]．

解答：解：∵函数y=

2

x

在（-∞，0）和（0，∞+）均为减函数，在[a，b]的值域是[a，b]，
∴当[a，b]⊆（0，+∞）时，可得

f(a)= 2 a =b f(b)= 2 a =b

，说明只要满足ab=2，且a＜b的正数a、b都能符合题意
同理可得，当[a，b]⊆（-∞，0）时，满足ab=2，且a＜b的负数数a、b也能符合题意．
所以任意满足ab=2，且a＜b的实数都能符合题意．
故答案为：[1，2]或[-2，-1]等等（答案不唯一）

点评：本题考查的知识点是函数单调性和函数的值域，属于基础题．根据新定义构造出满足条件的方程（组）或不等式（组）将新定义转化为熟悉的数学模型是解答本题的关键．