Question

若函数f（x）满足f（x+2）=f（x+1）-f（x），有以下命题：
①函数f（x）可以为一次函数；      
②函数f（x）的最小正周期一定为6；
③若函数f（x）为奇函数且f（1）=0，则在区间[-5，5]上至少有11个零点；
④若ω、φ∈R且ω≠0，则当且仅当ω=2kπ+

π

3

（k∈Z）时，函数f（x）=cos（ωx+φ）满足已知条件．
其中错误的是（　　）

A．①②

B．③④

C．①②③

D．①②④

Answer 1

分析：①假设函数f（x）=ax+b（a≠0），推出来a=b=0，故f（x）不是一次函数；      
②由周期的定义得到函数的最小正周期一定为6；
③利用函数奇偶性和周期性，则在区间[-5，5]上只有f（0）=f（±1）=f（±3）=f（±4）=0；
④反例验证④错误．

解答：解：①设f（x）=ax+b（a≠0），
则f（x+2）=a（x+2）+b=ax+（2a+b），
f（x+1）-f（x）=[a（x+1）+b]-（ax+b）=a，
由f（x+2）=f（x+1）-f（x）得ax+（2a+b）=a，
∴a=b=0，
∴f（x）不是一次函数，故①错误；      
②∵f（x+6）=f（x+5）-f（x+4）
=f（x+4）-f（x+3）-f（x+4）
=-f（x+3）
即f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f（x），
∴最小正周期一定为6，故②正确；
③∵函数f（x）为奇函数且f（1）=0，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）=0，
又由f（x+3）=f（x+2）-f（x+1）
=f（x+1）-f（x）-f（x+1）
=-f（x）
∴f（-3）=f（3）=0，f（-4）=f（4）=0，故③错误；
④当f（x）=sin

πx

3

时，
f（x+2）=sin

π

3

（x+2）=sin（

2π

3

+

π

3

x）
=-

1

2

sin

π

3

x+

3

2

cos

π

3

x
f（x+1）-f（x）=sin

π

3

（x+1）-sin

π

3

x=sin（

π

3

x+

π

3

）-sin

π

3

x
=

1

2

sin

π

3

x+

3

2

cos

π

3

x-sin

π

3

x
=-

1

2

sin

π

3

x+

3

2

cos

π

3

x
也符合f（x+2）=f（x+1）-f（x），故④错误．
故选：B

点评：本题主要考查函数的奇偶性，单调性，周期性和对称性，综合性很强，应分清思路，耐心解决．