Question

9．在△ABC中，BC=$\sqrt{7}$，∠A=60°．
（Ⅰ）若cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求AC的长；
（Ⅱ）若AB=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由正弦定理即可求AC的值．
（2）由余弦定理得：AC²-2AC-3=0，即可解得AC，利用三角形面积公式即可求值得解．

解答 解：（1）在△ABC中，BC=$\sqrt{7}$，∠A=60°．
因为cosB=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则sinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，…（2分）
由正弦定理得：$\frac{AC}{sinB}=\frac{BC}{sinA}$，即$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，得AC=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，…（5分）
（2）在△ABC中，BC=$\sqrt{7}$，∠A=60°，AB=2．
由余弦定理得：cos∠A=$\frac{A{C}^{2}+4-7}{2×2×AC}$=$\frac{1}{2}$，则AC²-2AC-3=0，
得AC=3．…（8分）
所以△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}×2×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．…（10分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．