Question

若f（x）为奇函数且在（0，+∞）上递增，又f（2）=0，则

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集是（　　）

A．（-2，0）∪（0，2）

B．（-∞，2）∪（0，2）

C．（-2，0）∪（2，+∞）

D．（-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析：根据f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，得到当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0．再结合函数为奇函数证出：当x≤-2时，f（x）≤0且-2＜x＜0时，f（x）＞0，最后利用这个结论，将原不等式变形，讨论可得所求解集．

解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，
∴当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0
又∵f（x）是奇函数
∴当x≤-2时，-x≥2，可得f（-x）≥0，从而f（x）=-f（-x）＜0．即x≤-2时f（x）≤0；
同理，可得当-2＜x＜0时，f（x）＞0．
不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0可化为：

2f(x)

x

＞0，即

f(x)

x

＞0
∴

f(x)＞0 x＞0

或

f(x)＜0 x＜0

，解之可得x＞2或x＜-2
所以不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集为：（-∞，-2）∪（2，+∞）．
故选：D．

点评：本题以抽象函数为例，在已知f（x）的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式，着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点，属于中档题．