Question

18．已知函数f（x）=（m+x）lnx在（1，f（1））处的切线与直线y=2x-4平行．
（1）求f（x）在区间[e，+∞）上的最小值；
（2）若对任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）=（m+x）lnx在（1，f（1））处的切线与直线y=2x-4平行，求出m，确定函数的单调性，即可求f（x）在区间[e，+∞）上的最小值；
（2）若对任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，分类讨论，确定函数的单调性，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=（m+x）lnx，
∴f′（x）=1+lnx+$\frac{m}{x}$，
∵函数f（x）=（m+x）lnx在（1，f（1））处的切线与直线y=2x-4平行，
∴f′（1）=1+m=2，
∴m=1，
∴f（x）=（1+x）lnx，f′（x）=1+lnx+$\frac{1}{x}$，
∴f（x）在区间[e，+∞）上f′（x）＞0，函数为增函数，
∴f（x）在区间[e，+∞）上的最小值为f（e）=e+1；
（2）∵对任意x∈（0，1），都有$\frac{1}{a}$f（x）+2-2x＜0成立，
∴对任意x∈（0，1），$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0成立，
∵lnx＜0，
∴①a＜0，$\frac{1+x}{a}$lnx+2（1-x）＜0，不合题意；
②a＞0时，lnx+$\frac{2a（1+x）}{1-x}$＜0对任意x∈（0，1）成立，
设h（x）=lnx+$\frac{2a（1+x）}{1-x}$，对任意x∈（0，1）成立，h（x）＜0成立．
则h′（x）=$\frac{{x}^{2}+（2-4a）x+1}{x（1+x）^{2}}$．
设g（x）=x²+（2-4a）x+1，△=16a（a-1）．
a∈（0，1]，△≤0，g（x）≥0，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，1]上为增函数，
∵h（1）=0，∴h（x）＜0；
a∈（1，+∞），△＞0，g（0）=1＞0，g（1）=4（1-a）＜0，
故存在x₀∈（0，1]，使得g（x₀）=0，对任意x∈（x₀，1），g（x）＜0，h′（x）＜0，h（x）在（x₀，1）上为减函数，
∵h（1）=0，∴x∈（x₀，1），h（x）＞0，不合题意，
综上所述，a∈（0，1]．

点评 本题的考点是利用导数研究函数的单调性以及求函数的最值．不等式恒成立问题常常是转化为最值恒成立去解决．