Question

设函数f（x）=，其中向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），x∈R．
（1）若f（x）=0且x∈（-，0），求tan2x；
（2）设△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，试求f（B）的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵向量=（2cosx，1），=（cosx，sin2x），
∴f（x）==2cos²x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（2x+）+1
∵f（x）=0，∴sin（2x+）=-
∵x∈（-，0），∴2x+∈，），
∴2x+=-
∴x=-，
∴tan2x=-；
（2）∵△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，
∴b²=ac
由余弦定理可得：=≥
∴0＜B≤，
∴＜2B+≤
∴≤sin（2B+）≤1
∴2≤f（B）≤3．
分析：（1）利用向量的数量积运算，结合辅助角公式化简函数，利用f（x）=0，可求x的值，进而可得tan2x的值；
（2）根据△ABC的三边a，b，c依次成等比数列，可得b²=ac，利用余弦定理，结合基本不等式，可确定B的范围，进而可得f（B）的取值范围．
点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数，考查等比数列，考查余弦定理与基本不等式的运用，化简函数是关键，属于中档题．