Question

定义在R上的函数f（x），如果存在函数g（x）=kx+b（k，b为常数），使得f（x）≥g（x）对一切实数x都成立，则称g（x）为函数f（x）的一个“承托函数”．现有如下命题：
①g（x）=2x为函数f（x）=2^x的一个承托函数；
②若g（x）=kx-1为函数f（x）=xlnx的一个承托函数，则实数k的取值范围是[1，+∞）；
③定义域和值域都是R的函数f（x）不存在承托函数；
④对给定的函数f（x），其承托函数可能不存在，也可能有无数个．
其中正确的命题是

④

．

Answer 1

分析：①举反例x=

3

2

时，有f（x）＜g（x），故错误；②若g（x）=kx-1为函数f（x）=xlnx的一个承托函数，则xlnx≥kx-1对一切正实数x都成立，即k≤lnx+

1

x

，故只需求m（x）=lnx+

1

x

的最小值，利用导数可得函数m（x）的最小值为1，可知正确；③举反例f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，错误；④举例f（x）=sinx，y=tanx，y=lgx，可说明结论正确．

解答：解：选项①，当x=

3

2

时，f（

3

2

）=2

3

2

=

8

，g（

3

2

）=3=

9

，有f（x）＜g（x），
故g（x）=2x不是函数f（x）=2^x的一个承托函数，故错误；
选项②若g（x）=kx-1为函数f（x）=xlnx的一个承托函数，
则xlnx≥kx-1对一切正实数x都成立，即k≤lnx+

1

x

，
只需求m（x）=lnx+

1

x

的最小值，求导数可得m′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，令

x-1

x2

＞0可得x＞1，即函数m（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，
故m（x）的最小值为m（1）=1，故可得k≤1，故实数k的取值范围是（-∞，1]，故错误；
选项③如f（x）=2x+3存在一个承托函数y=2x+1，故错误；
选项④若f（x）=sinx，则g（x）=B（B＜-1），就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y=tanx，y=lgx就没有承托函数，故正确；
故答案为：④

点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及函数的应用及新定义，属基础题．