Question

18．已知f（x）=e^x（x²-（2a+4）x+6a+4），讨论f（x）的单调性．

Answer 1

分析 求导f′（x）=e^x（x-2a）（x-2），分类讨论从而可得f（x）的单调性．

解答 解：∵f（x）=e^x（x²-（2a+4）x+6a+4），
∴f′（x）=e^x（x²-（2a+4）x+6a+4+2x-（2a+4））
=e^x（x²-（2a+2）x+4a）
=e^x（x-2a）（x-2），
①当2a＜2，即a＜1时，
故当x∈（-∞，2a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（2a，2）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，2a），（2，+∞）上单调递增，
在（2a，2）上单调递减；
②当2a=2，即a=1时，
故当x∈（-∞，2）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；
故f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
③当2a＞2，即a＞1时，
故当x∈（-∞，2）∪（2a，+∞）时，f′（x）＞0；
当x∈（2，2a）时，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，2），（2a，+∞）上单调递增，
在（2，2a）上单调递减．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用．