Question

下列4个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出直线l⊥面MNP的所有图形的序号是（　　）

• A、①④
• B、①②
• C、②④
• D、①③

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，根据M，P分别为中点，判断出MP∥AC，由四边形ABCD为正方形，判断出AC⊥BD进而根据DD′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，判断出DD′⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理推断出AC⊥平面DBB′，根据线面垂直的性质可知AC⊥DB′，利用线面垂直的判定定理推断出由MP∥AC，推断出DB′⊥MP，同理可证DB′⊥MP，DB′⊥NP，利用线面垂直的判定定理推断出DB′⊥平面MNP．④中由①中证明可知l⊥MP，根据MP∥AC，AC⊥l，推断出l⊥MP，进而根据线面垂直的判定定理推断出l⊥平面MNP．

解答： 解：设定正方体的顶点如图，连结DB，AC，
∵M，P分别为中点，
∴MP∥AC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
∵BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB′⊥AC，
∵BB′∩DB′=B，BB′?平面DBB′，AC?平面DBB′，
∴AC⊥平面DBB′，
∵DB′?平面DBB′，
∴AC⊥DB′，
∵MP∥AC，
∴DB′⊥MP，
同理可证DB′⊥MN，DB′⊥NP，
∵MP∩NP=P，MP?平面MNP，NP?平面MNP，
∴DB′⊥平面MNP，即l垂直于平面MNP，故①正确．
④中由①中证明可知l⊥MP，
∵MP∥AC，
AC⊥l，
∴l⊥MP，
∴l⊥平面MNP，
故选：A．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理．考查了学生空间思维能力和观察能力．