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已知向量满足,且,令
(1)求(用k表示);
(2)当k>0时,对任意的t∈[-1,1]恒成立,求实数x取值范围.
【答案】分析:(Ⅰ)利用条件把已知的等式两边平方展开整理易得函数f(k)的解析式.
(Ⅱ)由基本不等式求的函数f(k)的最小值等于,问题等价于 在[-1,1]上恒成立,故即g(t)=2xt-x2+1≥0在[-1,1]上恒成立,而g(t)在[-1,1]上为单调函数或常函数,所以,由此求得实数x的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)由题设得,对
两边平方得. …(2分)
展开整理易得.…(4分)
(Ⅱ)∵,当且仅当k=1时取得等号.…(6分)
欲使对任意的t∈[-1,1]恒成立,等价于…(7分)
即g(t)=2xt-x2+1≥0在[-1,1]上恒成立.
而g(t)在[-1,1]上为单调函数或常函数,
所以,…(11分) 
解得,…(13分)
故实数x的取值范围为. …(14分)
点评:本题主要考查两个向量的数量积的运算,以及函数的恒成立问题,求出函数f(k)的解析式,是解题的突破口,属于中档题.
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