Question

等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．
（Ⅰ）证明EF⊥平面PAE；
（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积，求V（x）的表达式．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，
∵EF⊥AB．AB∩PE=E，∴EF⊥平面PAE．…（6分）
（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，∴PE⊥平面ABC，即PE为四棱锥P-ACFE的高．
由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴，
由题意知．…（9分）
∴=．
∵PE=EB=x，
∴，．…（12分）
分析：（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，即证EF⊥PE，利用EF⊥AB，可得结论；
（Ⅱ）证明PE为四棱锥P-ACFE的高，求出的面积，即可得到四棱锥P-ACFE的体积．
点评：本题考查线面垂直，考查四棱锥体积的计算，掌握线面垂直的判定，正确计算体积是关键．