Question

【题目】已知，函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的值；

（3）设，若在内是减函数，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）

【解析】

（1）将不等式转化为等价的不等式，解不等式，即可.

（2）方程变形整理为， 分类讨论，当时，成立；当时，若关于的方程解集中恰有一个元素，则需，求解即可.

（3）根据在内是减函数，确定在区间上的最大值与最小值，，再根据最大值与最小值的差不超过，得不等式，对任意成立，从而转化为关于的二次函数在的最小值大于等于，解不等式，即可.

（1）由得，，解得

（2）方程的解集中恰有一个元素，

等价于方程仅有一个解，即方程仅有一个解，

当时，，符合题意；

当时，若使得方程仅有一个解，则需，解得

综上：或.

(3)因为在上单调递减，

所以函数在区间上的最大值与最小值分别为与，

则，

即，对任意成立.

因为，对称轴,

所以关于的二次函数在区间上单调递增，

所以时， ，

则，得.

所以的取值范围为.