Question

如图，已知两个正方行ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．
（1）若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（2）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．

Answer 1

分析：（1）（解法一）由面面垂直的性质定理，取CD的中点G，连接MG，NG，再证出∠MNG是所求的角，在△MNG中求解；
（解法二）由垂直关系建立空间直角坐标系，求出平面DCEF的法向量，再用向量的数量积求解；
（2）由题意假设共面，由AB∥CD推出AB∥平面DCEF，再推出AB∥EN，由得到EN∥EF，即推出矛盾，故假设不成立；

解答：解：（1）解法一：

取CD的中点G，连接MG，NG．设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
则MG⊥CD，MG=2，NG=

2

．
∵平面ABCD⊥平面DCED，
∴MG⊥平面DCEF，
∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．
∵MN=

MG2+GN2

=

6

，∴sin∠MNG=

6

3

为MN与平面DCEF所成角的正弦值
解法二：

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，
分别以射线DC，DF，DA为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系如图．
则M（1，0，2），N（0，1，0），可得

MN

=（-1，1，-2）．
又∵

DA

=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，
∴cos（

MN

，

DA

）=

MN • DA

|| MN || DA |

=-

6

3

•
∴MN与平面DCEF所成角的正弦值为cos(

MN

，

DA

)=

6

3

•
（2）假设直线ME与BN共面，
则AB?平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，∴AB?平面DCEF．
又∵AB∥CD，∴AB∥平面DCEF．
∵面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，∴AB∥EN．
又∵AB∥CD∥EF，
∴EN∥EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立．
∴ME与BN不共面，它们是异面直线．

点评：本题考查了线面角的求法，可有面面垂直的性质定理用两种方法来求解；还考查了用反证法证明，用了线线平行与线面平行的相互转化来推出矛盾，考查了推理论证能力和逻辑思维能力．