Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，点M是BC的中点，点N是AA₁的中点。

（1）求证：MN∥平面A₁CD；
（2）过N，C，D三点的平面把长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截成两部分几何体，求所截成的两部分几何体的体积的比值。

Answer 1

解：（1）如图，设点P为 AD的中点，连接MP，NP 因为点M是BC的中点， 所以MP∥CD 因为CD平面A1CD，MP平面A1CD， 所以MP∥平面A1CD 因为点N是AA1的中点， 所以NP∥A1D 因为A1D平面A1CD，NP平面A1CD， 所以NP∥平面A1CD 因为MP∩NP=P，MP平面MNP，NP平面MNP， 所以平面MNP∥平面A1CD 因为MN平面MNP， 所以MN∥平面A1CD。
（2）如图，取BB1的中点Q，连接ND，NQ，CQ 因为点N是AA1的中点， 所以NQ∥AB 因为AB∥CD， 所以NQ∥CD， 所以过N，C，D三点的平面NQCD把长方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分几何体，其中一部分几何体为直三棱柱QBC-NAD，另一部分几何体为直四棱柱B1QCC1-A1NDD1 因为 所以直三棱柱QBC-NAD的体积 因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积V=1×1×2=2 所以直四棱柱B1QCC1-A1NDD1的体积 所以 所以所截成的两部分几何体的体积的比值为