Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，）在椭圆C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△AF₂B的面积为，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先设出椭圆的方程，根据题设中的焦距求得c和焦点坐标，根据点（1，）到两焦点的距离求得a，进而根据b=求得b，得到椭圆的方程．
（Ⅱ）先看当直线l⊥x轴，求得A，B点的坐标进而求得△AF₂B的面积与题意不符故排除，进而可设直线l的方程为：y=k（x+1）与椭圆方程联立消y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据韦达定理可求得x₁+x₂和x₁•x₂，进而根据表示出|AB|的距离和圆的半径，求得k，最后求得圆的半径，得到圆的方程．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴．
∴a=2，又c=1，b²=4-1=3，
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）当直线l⊥x轴，计算得到：
，，不符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），
由，消去y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
显然△＞0成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则，
又
即，
又圆F₂的半径，
所以，
化简，得17k⁴+k²-18=0，
即（k²-1）（17k²+18）=0，解得k=±1
所以，，
故圆F₂的方程为：（x-1）²+y²=2．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线，椭圆与圆的关系．考查了学生综合运用所学知识，创造性地解决问题的能力．