Question

设椭圆C：（a＞0）的左右焦点分别为F₁、F₂，A是椭圆C上的一点，，坐标原点O到直线AF₁的距离为|OF₁|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q是椭圆C上的一点，过点Q的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点M，若||=2||，求直线l的斜率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）确定焦点坐标，求出A的坐标，可得AF₁所在直线方程，求出坐标原点O到直线AF₁的距离，利用坐标原点O到直线AF₁的距离为|OF₁|，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，利用||=2||，确定Q的坐标，代入椭圆方程，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）由题设知，，
由于，则有，所以点A的坐标为  …（2分）
故AF₁所在直线方程为   …（4分）
所以坐标原点O到直线AF₁的距离为
又|OF₁|=，所以，解得：a=2 …（6分）
∴所求椭圆的方程为   …（7分）
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），则有M（0，k）      …（8分）
设Q（x₁，y₁），由于Q、F、M三点共线，且||=2||，
∴（x₁，y₁-k）=±2（x₁+1，y₁），解得或  …（11分）
又Q在椭圆C上，故或…（12分）
解得k=0或k=±4，所以所求直线l的斜率为0或±4       …（14分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．