Question

在△ABC中，tanB+tanC+

3

tanBtanC=

3

，又

3

tanA+

3

tanB+1=tanAtanB，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：把已知的两等式变形后，根据两角和的正切函数公式及诱导公式化简，分别根据A和C的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A和C的度数，即可判断出三角形的形状．

解答：解：∵tanB+tanC+

3

tanBtanC=

3

，且A+B+C=180°，
∴

tanB+tanC

1-tanBtanC

=

3

，即tan(B+C)=-tanA=

3

，
∴tanA=-

3

，
∵0＜A＜π，∴∠A=120°，
∵

3

tanA+

3

tanB+1=tanAtanB，
∴

tanB+tanA

1-tanBtanA

=-

3

3

即tan(B+A)=-tanC=-

3

3

，
∴tanC=

3

3

，
∵0＜C＜π，∴∠C=30°，
∴∠B=180°-120°-30°=30°，即∠B=∠C，
∴AB=AC，
则△ABC是顶角为120°的等腰三角形．

点评：此题考查了三角形形状的判定，要到的知识有两角和与差的正切函数公式、诱导公式、特殊角的三角函数值，以及等腰三角形的判别方法，其中灵活运用公式把已知的两等式进行三角函数的恒等变形，得到A和C的度数，进而得到B的度数是解本题的关键．