Question

 

如图，四边形中（图1），是的中点，，，将（图1）沿直线折起，使二面角为（如图2）

    （1）求证：平面；

    （2）求异面直线与所成角的余弦值；

    （3）求点到平面的距离.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：

（1）   如图取BD中点M，连接AM，ME。因  ……1分

     因 ， 满足：,

所以是BC为斜边的直角三角形，,                          

因是的中点,所以ME为的中位线 ，

,                                              …… 2分

 是二面角的平面角=                  ……3分  

   ,且AM、ME是平面AME内两相交于M的直线

平面AEM                     ……4分

  因,为等腰直角三角形，

                                 ……  6分

          ……  7分

 

（2）如图，以M为原点MB为x轴，ME为y轴，建立空间直角坐标系，…….. 8分

则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),，

,D,C

             …… 9分

设异面直线与所成角为,

 

则 ……10分 

 ……11分

由可知满足，

是平面ACD的一个法向量,                   …… 12分

记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d  

则  ……13分   所以d        …… 14分

（2），(3)解法二：

取AD中点N，连接MN,则MN是的中位线,MN//AB,又ME//CD

所以直线与所成角为等于MN与ME所成的角，

即或其补角中较小之一                                          ……  8分

，N为在斜边中点

所以有NE=,MN=,ME=,

         …….9分

=                      ……10分

(3)记点到平面的距离d，则三棱锥B-ACD的体积,   ……11分

又由（1）知AE是A-BCD的高、 …..12分

E为BC中点，AEBC 又, ,

        ……13分

 到平面的距离                 ……14分

 

 

解法三：(1) 因 ， 满足：, , 1分

如图，以D为原点DB为x轴，DC为y轴，建立空间直角坐标系，          …….. 2分

则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，, A(a,b,c)  (由图知a>0,b>0,c>0) …….3分

得 ….. 4分

平面BCD的法向量可取,

，所以平面ABD的一个法向量为        5分

则锐二面角的余弦值 …..6分

从而有,                 7分

所以平面          9分

(2)由（1），D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，

   设异面直线与所成角为,则 ……10分 

 ……11分

(3)由可知满足，

是平面ACD的一个法向量,                   …… 12分

记点到平面的距离d，则在法向量方向上的投影绝对值为d  

则  ……13分   所以d        …… 14分