Question

某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y（万元）随医疗总费用x（万元）增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．
（1）请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05（x²+4x+8）作为报销方案；
（2）若该单位决定采用函数模型y=x-2lnx+a（a为常数）作为报销方案，请你确定整数a的值．（参考数据：ln2≈0.69，ln10≈2.3）

Answer 1

（1）函数y=0.05（x²+4x+8）在[2，10]上是增函数，满足条件①，…（2分）
当x=10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件③．…（4分）
但当x=3时，y=

29

20

＜

3

2

，即y≥

x

2

不恒成立，不满足条件②，
故该函数模型不符合该单位报销方案．…（6分）
（2）对于函数模型y=x-2lnx+a，设f（x）=x-2lnx+a，则f′（x）=1-

2

x

=

x-2

x

≥0．
所以f（x）在[2，10]上是增函数，满足条件①，
由条件②，得x-2lnx+a≥

x

2

，即a≥2lnx-

x

2

在x∈[2，10]上恒成立，
令g（x）=2lnx-

x

2

，则g′（x）=

2

x

-

1

2

=

4-x

2x

，由g′（x）＞0得x＜4，
∴g（x）在（0，4）上增函数，在（4，10）上是减函数．
∴a≥g（4）=2ln4-2=4ln2-2．…（10分）
由条件③，得f（10）=10-2ln10+a≤8，解得a≤2ln10-2．…（12分）
另一方面，由x-2lnx+a≤x，得a≤2lnx在x∈[2，10]上恒成立，
∴a≤2ln2，
综上所述，a的取值范围为[4ln2-2，2ln2]，
所以满足条件的整数a的值为1．…（14分）